PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

A partir de la gráfica de una función real, y = f(x), es posible determinar ciertas propiedades o características que nos ofrecen una amplia información sobre su comportamiento

Dominio de una función

El dominio de una función es el conjunto de valores que toma la variable independiente y se escribe Df(x). Para determinar el dominio, basta con recorrer la gráfica de izquierda a derecha y leer los intervalos o semirrectas de x en los que hay dibujo. La unión de todos ellos es el dominio de la función.

Recorrido de una función

El recorrido de una función es el conjunto de valores que toma la variable dependiente y se escribe Rf(x). Para determinar el recorrido, basta con recorrer la gráfica de abajo a arriba y leer los intervalos o semirrectas de y en los que hay dibujo. La unión de todos ellos es el recorrido de la función

Puntos de corte con los ejes

Los puntos de corte con los ejes son los puntos donde la gráfica de la función corta a los ejes de coordenadas:

- Eje OX: son puntos de coordenadas (x,0)

- Eje OY: son puntos de coordenadas (0,y)

Para determinar gráficamente los puntos de corte con los ejes, basta con leer las coordenadas de los puntos donde el dibujo corta a los ejes de coordenadas

Signo

El signo de una función es la región del plano donde vamos a dibujar la gráfica, de tal forma que:

- si la función es positiva, la gráfica estará por encima del eje de abscisas

- si la función es negativa, la gráfica estará por debajo del eje de abscisas

Para determinar gráficamente el signo de una función, basta con leer los intervalos o semirrectas de x en los que la gráfica está por encima o por debajo del eje de abscisas. La unión de los que están al mismo lado determina el signo

Simetría

Se dice que una función presenta simetría par si es simétrica respecto del eje de ordenadas (simetría axial) y simetría impar si lo es respecto del origen (simetría central).

Para determinar gráficamente la simetría de una función no tienes más que "doblar" la gráfica respecto de sus ejes, y:

- si al doblar una vez respecto del eje de ordenadas la gráfica se superpone, es que presenta simetría par

- si al doblar dos veces, primero respecto del eje de ordenadas y después respecto del eje de abscisas, la gráfica se superpone, es que presenta simetría impar

Periodicidad

Una función es periódica si la gráfica se repite a intervalos iguales llamados período. Las funciones trigonométricas son periódicas

Continuidad

Una función es continua cuando se puede dibujar de un solo trazo, sin levantar el lápiz del papel. En caso contrario es discontinua.

Cuando una función es discontinua, hay que indicar el valor de x donde lo es.

Tendencia y asíntotas

La tendencia o límite de una función es el valor al que se aproxima la variable dependiente (y) cuando la independiente (x) se aproxima o al infinito (positivo o negativo) o a un punto (por su izquierda o por su derecha).

Para determinar gráficamente la tendencia de una función en el infinito, basta con situarnos cerca del infinito para la x (si es positivo nos situamos en la parte de la gráfica que está más a la derecha y si es negativo a la izquierda) y vamos recorriendo la función hacia el infinito pedido, observando a qué valor de y nos vamos aproximando. En el caso del límite en un punto, tenemos que hacer lo mismo pero aproximarnos al punto por su izquierda (límite lateral por la izquierda) y por la derecha (límite lateral por la derecha) y ver que coinciden para concluir que existe el límite

Las asíntotas de una función son rectas a las que se acerca la función en puntos muy alejados del origen sin llegar a tocarlas. Pueden ser de tres tipos: horizontales, verticales y oblicuas

Monotonía y extremos relativos

La monotonía de una función es el estudio de los intervalos de crecimiento y decrecimiento, teniendo en cuenta que:

- la función es creciente si, para todos los puntos del intervalo, al aumentar la x, la y también aumenta. Es decir, si la recorremos de izquierda a derecha, la función "sube"

- la función es decreciente si, para todos los puntos del intervalo, al aumentar la x, la y disminuye. Es decir, si la recorremos de izquierda a derecha, la función "baja"

Para determinar gráficamente los intervalos de crecimiento y decrecimiento, basta con recorrer la gráfica de izquierda a derecha y leer los intervalos o semirrectas de x en los que la función sube o baja. Se escriben siempre como intervalos o semirrectas abiertos. La unión de los que suben determina el crecimiento y de los que bajan el decrecimiento

Los extremos relativos de una función son los puntos en los que se produce un cambio en la monotonía, de tal forma que:

- hay un mínimo relativo en el punto donde la función pasa de ser decreciente a creciente

- hay un máximo relativo en el punto en el que la función pasa de ser creciente a decreciente

Para determinar gráficamente los extremos relativos, basta con leer las coordenadas de los puntos en los que se produce el cambio de la monotonía: los puntos más altos de las "montañas" son máximos relativos y los más bajos de los "valles" son mínimos relativos

Curvatura y puntos de inflexión

La curvatura de una función es el estudio de los intervalos de concavidad y convexidad, teniendo en cuenta que:

- la función es cóncava si, para todos los puntos del intervalo, las rectas tangentes quedan por encima de la gráfica

- la función es convexa si, para todos los puntos del intervalo, las rectas tangentes quedan por debajo de la gráfica

Para determinar gráficamente los intervalos de concavidad y convexidad, basta con recorrer la gráfica de izquierda a derecha y leer los intervalos o semirrectas de x en los que las rectas tangentes quedan por encima o por debajo. Se escriben siempre como intervalos o semirrectas abiertos. La unión de los que quedan por encima determinan la concavidad y de los que quedan por debajo la convexidad

Los puntos de inflexión de una función son los puntos en los que se produce un cambio en la curvatura.

Para determinar gráficamente los puntos de inflexión basta con leer las coordenadas de los puntos en los que se produce un cambio en la curvatura