LÍMITES Y SUS APLICACIONES

El límite de una función y = f(x) es el valor al que se aproxima la variable dependiente (y) cuando la independiente (x) se aproxima al infinito o a un punto.

Por lo tanto, se pueden distinguir dos tipos de límites:

Propiedades de los límites

Las propiedades de los límites se resumen en la siguiente tabla:

Cálculo de límites en el infinito

La regla general es que se sustituye la variable por infinito (positivo o negativo, según pidan) aplicando las propiedades de los límites y se opera. En los polinomios basta con sustituir en el término de mayor grado al ser un infinito de orden superior ("llega" antes a infinito que el resto de los términos, por lo que éstos se pueden despreciar).

Como el infinito no es un número real, no sigue las mismas reglas de operación conocidas y tiene las suyas propias. En la siguiente tabla aparecen las operaciones más importantes con el infinito cuando se calcula un límite:

Cálculo de límites en un punto

La regla general es que se sustituye la variable por el punto aplicando las propiedades de las potencias y se opera como números reales.

En el caso de las funciones definidas a trozos, cuando piden hallar el límite en los puntos críticos, se calculan los límites de las funciones definidas a derecha e izquierda (límites laterales) y tienen que dar lo mismo para concluir que existe el límite.

Resolución de indeterminaciones

A veces ocurre que al calcular el límite aparecen expresiones que no siempre valen lo mismo, llamadas indeterminaciones. Para calcular su valor hay que resolverlas aplicando distintos procedimientos dependiendo del tipo de función o expresión cuyo límite queremos calcular. En esta tabla se recogen las siete indeterminaciones así como la resolución de algunas de ellas:

Con este applet de Geogebra podrás comprobar los resultados de tus límites. Para ello basta con escribir la expresión algebraica de la función cuyo límite quieras calcular y el valor al que tiende x (para límites en el infinito, encontrarás el símbolo de infinito pulsando el icono "alfa" que aparece a la derecha cuando activas la casilla). A continuación pulsa INTRO: automáticamente aparece el valor del límite.

Para escribir las funciones correctamente debes saber que:

1.- Los símbolos utilizados en las operaciones básicas son: suma (+); resta (-); producto (*); cociente (/); potencia (^), todos ellos en el teclado del ordenador

2.- Las funciones radicales hay que escribirlas como potencias de exponente fraccionario

3.- Las funciones trigonométricas se escriben: seno: sin(f); coseno: cos(f); tangente: tan(f)

4.- En las funciones racionales, tanto el numerador como el denominador deben estar escritas entre paréntesis

5.-Las funciones logarítmicas se escriben: logaritmos neperianos: ln(f); logaritmos decimales: log(10,f); logarirmos en base a: log(a,f)

Continuidad. Tipos de discontinuidades

Una función, y = f(x), es continua en un punto x = a, si:

En el caso de funciones definidas a trozos, hay que calcular los límites laterales y han de ser iguales para concluir que existe el límite.

Si no se cumple alguna de las tres condiciones, la función es discontinua en dicho punto.

Hay tres tipos de discontinuidades, dependiendo de la condición o condiciones que no se cumplan:

Cálculo de las asíntotas de una función

Para calcular las asíntotas verticales, horizontales u oblicuas de una función se calculan los siguientes límites: