INTEGRALES Y SUS APLICACIONES

Integral indefinida de una función. Propiedades

Dada una función y = f(x), se dice que F(x) es una primitiva de f(x), si verifica que F´(x) = f(x)

Por ejemplo: F(x) = 3x es una primitiva de f(x) = 3, ya que F´(x) = 3 = f(x); pero la función G(x) = 3x + 2, también es una primitiva de f(x) = 3 y, en general, cualquier función de la forma 3x + cte es una primitiva de f(x) = 3, ya que la derivada de una función constante es cero.

Se llama integral indefinida de f(x) al conjunto de infinitas primitivas de f(x), y se representa por:

Las propiedades de la integral indefinida son:

Integrales inmediatas

Dado que el proceso de integración es la operación inversa a la derivación, es fácil deducir las integrales indefinidas de ciertas funciones, simplemente leyendo en sentido inverso la tabla de derivadas de funciones elementales, también llamada tabla de integrales inmediatas

Para calcular las integrales más sencillas, basta combinar la tabla de integrales inmediatas con las propiedades de la integral indefinida.

Con este applet de Geogebra podrás comprobar si calculas bien las integrales indefinidas.Para ello basta con escribir la expresión algebraica de la función cuya integral indefinida quieras calcular y pulsar INTRO: aparecerá automáticamente la integral indefinida.

Para escribir las funciones correctamente debes saber que:

1.- Los símbolos utilizados en las operaciones básicas son: suma (+); resta (-); producto (*); cociente (/); potencia (^), todos ellos en el teclado del ordenador

2.- Las funciones radicales hay que escribirlas como potencias de exponente fraccionario

3.- Las funciones trigonométricas se escriben: seno: sin(f); coseno: cos(f); tangente: tan(f)

4.- En las funciones racionales, tanto el numerador como el denominador deben estar escritas entre paréntesis

5.- Las funciones logarítmicas se escriben: logaritmos neperianos: ln(f); logaritmos decimales: log(10,f); logaritmos en base a: log(a,f)

Métodos de integración

Los métodos de integración nos permiten transformar cualquier expresión a integrar en una integral inmediata. Veamos algunos de ellos:

1) Funciones racionales

Donde gn=grado del numerador y gd=grado del denominador

2) Sustitución o cambio de variable

El método de sustitución o cambio de variable consiste en sustituir parte de la expresión a integrar por otra variable (t) con el fin de conseguir una integral inmediata o casi inmediata.

Una vez que se ha realizado la integración hay deshacer el cambio.

Sólo la práctica nos indica cuál es el cambio más adecuado, pero hay algunas expresiones tipificadas:

Integral definida de una función. Propiedades

Se llama integral definida de una función y = f(x) en el intervalo [a,b], al área comprendida entre la gráfica de la función f(x) y el eje OX en dicho intervalo. Se calcula utilizando la Regla de Barrow y es, por lo tanto, un número real:

Las propiedades de la integral definida quedan resumidas en la siguiente tabla:

Área entre una curva y el eje OX

Para calcular el área comprendida entre una función y el eje OX se dibuja el área pedida y se plantea la integral definida resolviéndola por la Regla de Barrow.

Fíjate que si el ejercicio no da los límites de integración, éstos son los puntos de corte de la gráfica con el eje OX.

Con este applet de Geogebra podrás calcular el valor de la integral definida de una función así como el área encerrada entre ella y el eje OX. ¡¡¡ Fíjate que no siempre son iguales!!!.

Para ello escribe la expresión algebraica de la función cuya integral definida quieras estudiar y pulsa INTRO: automáticamente aparecerá la gráfica de dicha función. Lo que tienes que tener en cuenta para escribir correctamente las funciones lo puedes consultar del applet anterior.

Para saber el valor de la integral definida tienes que escribir en las casillas correspondientes los límites de integración y activar "Integral definida de f entre [a,b]": aparecerá no sólo el valor del integral sino también su representación gráfica.

Para saber el valor del área encerrada entre una curva y el eje OX tienes que escribir los límites de integración en las casillas correspondientes y activar "Área entre f y OX entre [a,b]", e igualmente aparece tanto su valor como su representación gráfica.

Utiliza los iconos de la parte superior para mover, hacer más grande o más pequeña la representación gráfica

Área entre dos curvas

El área encerrada entre las gráficas de dos funciones se aplica lo siguiente:

Para calcular los límites de integración si no se aprecian bien en la representación gráfica, basta con resolver el sistema formado por las ecuaciones de ambas funciones

Con este applet de Geogebra podrás calcular y representar el área encerrada entre las gráficas de dos funciones. Para ello escribe la expresión algebraica de las dos funciones siguiendo las instrucciones del primer applet en los sitios correspondientes y pulsa INTRO: aparecerá automáticamente las gráficas de las dos funciones.

A continuación activa sólo la primera casilla en aquellas representaciones con dos puntos de corte y las dos casillas si hay tres puntos de corte para saber el área total.

Utiliza los iconos de la parte superior para mover, hacer más grande o más pequeña la representación